A 3ª Lei de Kepler para órbitas elípticas

A terceira lei de Kepler para órbitas elípticas.

Normalmente, nas aulas de bacharelato deducimos a terceira lei de Kepler para órbitas circulares (isto é suficiente para o nivel esixido nestes cursos). No entanto, con un pouco de paciencia, tamén podemos abordar a dedución da 3ª lei de Kepler para as órbitas elípticas.

Para a demostración usaremos:
a) A 2ª lei de Kepler para unha órbita enteira
b) O teorema de conservación do momento angular (ou cinético) no afelio e no perihelio.
c) O teorema de conservación da enerxía mecánica cando hai ausencia de traballo externo e as forzas involucradas (internas) son conservativas (posibilidade de falar de enerxía potencial)

Vamos, entón:
O tempo que tarda un planeta en completar unha órbita chámase periodo. Segundo a 2ª lei de Kepler, en un periodo o raio-vector que une o Sol e un planeta terá varrido unha superficie S = π a b, e a relación entre a área varrida e o período será constante e:

 

Agora imos considerar dous puntos singulares, o afelio A' e o perihelio A onde o vector velocidade lineal formará 90º co raio-vector. Neses puntos a conservación do momento angular lévanos a:

 

 Para finalizar, aplicamos a conservación da enerxía, é dicir como non hai forzas externas que realicen traballo e as que actúan son conservativas:

  

c.q.d